2022年吉首大学专升本《数学分析》课程考核大纲

　　3、运用：(1)用有关定义求反常积分的值;(2)用有关定义及法则判断反常积分的敛散性。

　　第十二章 数项级数

　　1、识记：(1)级数及部分和;(2)级数的收敛与发散;(3)收敛级数的和;(4)正项级数;(5)交错级数;(6)级数的绝对收敛与条件收敛。

　　2、理解：(1)级数收敛的柯西准则与必要条件;(2)收敛级数的性质;(3)比较原则及其极限形式;(4)正项级数的敛散性判别：比式判别法及其极限形式;(5)正项级数的敛散性判别：根式判别法及其极限形式;(6)交错级数的收敛性判别：莱布尼茨判别法;(7)一般项级数收敛性判别：阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

　　3、运用：(1)能用定义判断级数的敛散性并求收敛级数的和;(2)用正项级数的各种敛散性判别法判断正项级数的敛散性;(3)用柯西准则、莱布尼茨判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法判别一般项级数的收敛性。

　　第十三章 函数列与函数项级数

　　1、识记：(1)函数列在一点的收敛与发散;(2)函数列的收敛域;(3)函数列一致收敛的概念;(4)函数项级数在一点的收敛与发散;(5)函数项级数的收敛域;(6)函数项级数一致收敛的概念。

　　2、理解：(1)函数列(函数项级)一致收敛的柯西准则;(2)函数列一致收敛的充要条件;(3)函数项级数一致收敛的优级数判别法;(4)函数列一致收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法;(5)一致收敛函数列(函数项级数)所确定函数的性质：连续性、可积性、可微性。

　　3、运用：(1)用定义求函数列或函数项级数的极限函数或和函数，并求收敛域;(2)用定义或有关法则判断函数列或函数项级数的一致收敛性;(3)判断函数列或函数项级数的极限函数或和函数的性质，诸如连续性、可积性与可微性。

　　第十四章 幂级数

　　1、识记：(1)幂级数;(2)收敛区间与收敛半径;(3)泰勒级数与麦克劳林级数;(4)泰勒展开式或幂级数展开式。

　　2、理解：(1)收敛半径公式;(2)幂级数的性质;(3)幂级数的运算。

　　3、运用：(1)能求幂级数的收敛半径与收敛域;(2)能用幂级数的性质、运算法则及某些幂级数的和函数求其它幂级数的和函数;(3)能将某些函数展开成幂级数。

　　第十五章 傅里叶级数

　　1、识记：(1)正交函数和正交函数系;(2)傅里叶级数;(3)按段光滑函数;(4)正弦函数与余弦级数。

　　2、理解：傅里叶级数的收敛定理。

　　3、运用：(1)求某些函数的傅里叶级数;(2)用收敛定理判断某些函数的傅里叶级数的收敛性。

　　第十六章 多元函数的极限与连续

　　1、识记：(1)平面点集的内点、外点、界点与聚点、孤立点;(2)开集与闭集;(3)开域、闭域、区域;(4)有界点集和无界点集;(5)二元函数和n元函数;(6)平面点列的极限。

　　2、理解：(1)二元函数的极限;(2)二元函数的累次极限;(3)二元函数的累次极限与重极限的关系;(4)二元函数的连续性;(5)有界闭域上连续函数的性质：有界性与最大值、最小值定理。

　　3、运用：(1)用定义或四则运算法则求二元函数的极限或累次极限;(2)用定义研究二元函数的连续性。

　　第十七章 多元函数微分学

　　1、识记：(1)全微分;(2)偏导数;(3)方向导数;(4)梯度;(5)海赛矩阵。

　　2、理解：(1)函数可微的必要条件和充要条件;(2)复合函数求导的链式法则;(3)混合偏导数可交换的充分条件;(4)极值的必要条件;(5)极值的充分条件。

　　3、运用：(1)求函数的偏导数、全微分及高阶偏导数;(2)求曲面的切平面方程与法线方程。

　　第十八章 隐函数定理及其应用

　　1、识记：(1)显函数与隐函数;(2)隐函数组;(3)条件极值;(4)拉格朗日函数。

　　2、理解：(1)隐函数存在定理;(2)隐函数组定理;(3)用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。

　　3、运用：(1)隐函数及隐函数组求导;(2)求平面曲线的切线与法线;(3)求空间曲线的切线与法平面;(4)求曲面的切平面与法线。

　　第十九章 　含参量积分

　　1、识记：(1)含参量(正常)积分;(2)累次积分;(3)含参量的无穷限反常积分;(4)含参量的无穷限反常积分的一致收敛性。

　　2、理解：(1)含参量(正常)积分的连续性、可微性与可积性定理;(2)含参量的无穷限反常积分的一致收敛判别法则：柯西准则、大M判别法、阿贝尔判别法与狄利克雷判别法;(3)含参量的无穷限反常积分的性质：连续性、可微性与可积性。

　　3、运用：(1)用含参量的微分法求定积分;(2)判断含参量的无穷限反常积分的一致收敛性;(3)用含参量的无穷限反常积分的微分法求无穷限反常积分。

　　第二十章 曲线积分

　　1、识记：(1)第一型曲线积分的定义及性质;(2)第二型曲线积分的定义及性质。

　　2、理解：(1)第一型曲线积分的计算公式;(2)第二型曲线积分的计算公式。

　　3、运用：(1)求第一型曲线积分和第二型曲线积分。

　　第二十一章 重积分

　　1、识记：(1)二重积分的定义;(2)二重积分的性质;(3)x型区域和y型区域;(4)曲线的正向;(5)单连通区域与复连通区域;(6)三重积分的定义及性质。

　　2、理解：(1)直角坐标系下的二重积分化为逐次积分;(2)格林公式;(3)曲线积分与路径无关的充要条件;(4)二重积分的变量变换公式;(5)用极坐标计算二重积分;(6)三重积分的常用变量变换公式：柱面坐标变换与球坐标变换。

　　3、运用：(1)计算二重积分和三重积分。

　　第二十二章 曲面积分

　　1、识记：(1)第一型曲面积分的定义及性质;(2)单侧曲面与双侧曲面;(3)第二型曲面积分的定义及性质;(4)右手法则。

　　2、理解：(1)第一型曲面积分的计算公式;(2)第二型曲面积分的计算公式;(3)高斯公式。

　　3、运用：(1)计算第一型曲面积分;(2)会用第二型曲面积分的计算公式和高斯公式计算第二型曲面积分。

　　五、课程考核实施要求

　　1、考核方式

　　本考核大纲为数学与应用专业专升本学生所用，考核方式为闭卷考试。

　　2、考试命题

　　(1)本考核大纲命题内容覆盖了教材的主要内容。

　　(2)试题对不同能力层次要求的比例为：识记约占15%，理解约占45%，运用约占40%。

　　(3)试卷中不同难易度试题的比例为：较易占30%，中等占55%，较难占15%。

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