2022年汉江师范学院专升本专业课《数学分析》考试大纲

数学与应用数学专业《数学分析》考试大纲

一、考试科目：数学分析

二、考试方式：闭卷、笔试

三、考试时间：90 分钟

四、试卷结构：总分 100 分，其中单项选择题占 15%，填空题占 24%，计算题占 37%，证明题占 24%。

五、参考教材：数学分析.(上、下册)/华东师范大学数学系编.—4 版.—北京：高等教育出版社，2010.7 

六、考试基本要求考生应按本大纲的要求，理解或掌握数学分析中的实数集与函数、数列与函数极限、函数连续性、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学及级数敛散性的基本概念和基本理论;理解或掌握上述各部分的基本方法。考生应理解各部分知识结构及知识的内在联系。考生应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力;能运用所学知识正确地推理和证明，准确地计算;能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决简单的实际问题。

七、考试范围

第一章 实数集与函数考试内容： 1.实数分类、实数的性质(对四则运算的封闭性、有序性、阿基米德性、稠密性)、绝对值与不等式; 2.区间、邻域、数集、确界原理; 3.函数表示法、函数四则运算、复合函数、反函数、初等函数; 4.有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。基本要求： 1.熟练掌握实数域及性质; 2.掌握绝对值不等式;  3.熟练掌握邻域、上确界、下确界概念以及确界原理; 4.牢固掌握函数的复合法则、基本初等函数、初等函数及某些特性(单调性、周期性、奇偶性、有界性等)。

第二章 数列极限考试内容： 1.数列极限的定义及其几何意义、无穷小数列; 2.收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算法则; 3.单调有界定理、柯西收敛准则。基本要求： 1.理解数列极限的定义; 2.理解收敛数列的若干性质，会求数列极限; 3.掌握数列收敛的条件(单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等)。

第三章 函数极限考试内容： 1.函数极限的概念，单侧极限及其与极限的关系; 2.函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算法则; 3.函数极限的单调有界定理、归结原则、柯西准则; 4.两个重要的极限; 5.无穷小量和无穷大量的比较。基本要求： 1.熟练掌握函数极限的概念; 2.掌握函数极限的若干性质; 3.掌握函数极限存在的条件(归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等); 4.熟练应用两个重要的极限; 5.掌握无穷小(大)的定义、性质、阶的比较。

第四章 函数的连续性考试内容： 1.函数在一点连续(左、右连续)及间断点的概念、间断点的分类; 2.连续函数的局部有界性、局部保号性，连续函数的四则运算及复合函数的连续性; 3.闭区间上连续函数的最值性、介值性、根的存在性定理，反函数的连续性、初等函数的连续性、一致连续性。基本要求： 1.熟练掌握 f(x)在 x 点连续的定义和等价定义; 2.熟练掌握间断点及其分类; 3.熟练掌握 f(x)在一点连续性质及在区间上连续性质; 4.熟练掌握初等函数的连续性。

第五章 导数和微分考试内容： 1.平面曲线切线与瞬时速度问题、导数定义、单侧导数、导数的几何意义、导函数; 2.导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数; 3.微分的概念、微分的四则运算、一阶微分形式不变性、近似计算与误差估计; 4.高阶导数与高阶微分、参数方程和隐函数求导法。基本要求： 1.熟练掌握导数的定义，理解几何、物理意义; 2.掌握并熟练应用求导法则、求导公式; 3.会求各类函数(复合函数、参变量函数、隐函数、幂指函数)的导数和部分函数的高阶导数(莱布尼茨公式); 4.掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算; 5.掌握一元函数连续、可导、可微之间的关系。

第六章 微分中值定理及应用考试内容： 1.费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理; 2.各个类型不定式极限; 3.函数的单调性与极值; 4.函数的凸凹性与拐点; 5.函数图象的讨论。基本要求： 1.熟练掌握微分中值定理; 2.会运用洛必达法则求极限; 3.会求函数的单调区间、极值等; 4.掌握凸函数概念及性质，利用导数定义判定凹凸性及拐点; 5.能通过一定的计算进行函数图象的讨论。

第八章 不定积分考试内容： 1.原函数、不定积分、基本积分表、不定积分的线性运算法则; 2.第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法; 3.有理函数的积分、三角函数有理式的积分、某些简单无理函数的积分。基本要求： 1.理解原函数与不定积分的概念，熟练运用基本积分公式; 2.熟练掌握换元积分法、分部积分法; 3.掌握有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。

第九章 定积分考试内容： 1.定积分的定义、函数的可积条件(必要条件，可积准则，可积函数类(三个充分条件)); 2.定积分的线性性质、积分区间的可加性、单调性、绝对可积性等性质，积分中值定理; 3.变上限积分函数概念与性质，牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法。基本要求： 1.掌握定积分定义、性质、可积条件，会用定义进行一些数列极限的计算; 2.熟练掌握微积分基本定理、积分中值定量，并能够加以应用; 3.能够熟练计算定积分; 4.掌握定积分的变换及其一定的应用。 

 第十章 定积分应用考试内容： 1.平面图形的面积; 2.由截面面积求立体体积、旋转体体积; 3.曲线的弧长; 4.旋转曲面的面积; 5.微元法思想及应用。基本要求： 1.能熟练计算各种平面图形面积; 2.会由截面面积求立体体积、求旋转体的体积; 3.会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积。

第十一章 反常积分考试内容： 1.两类反常积分的定义; 2.无穷积分的性质与收敛判别; 3.瑕积分的性质与收敛判别。基本要求： 1.掌握无穷积分收敛与发散的概念，会应用收敛定义和性质计算无穷积分; 2.会用收敛的定义和收敛性判别法判别无穷积分的敛散性; 3.理解瑕积分收敛性定义，会计算某些瑕积分的值; 4.理解瑕积分收敛性的各种判别方法，会运用它们进行敛散性判别。

第十二章 数项级数考试内容： 1.数项级数收敛、发散、和的概念，柯西准则，收敛级数的性质; 2.正级数的收敛原则、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法; 3.交错级数及其它一般级数绝对收敛、条件收敛与发散的概念与性质。基本要求： 1.掌握数项级数敛散的定义、性质; 2.熟练掌握正项级数的敛散性判别法; 3.掌握交错级数收敛的差别，了解其它一般级数绝对收敛、条件收敛与发 散的概念与性质。

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