2022年云南大学滇池学院专升本专业课《高等代数》考试大纲

　　3.一般线性方程组有解的判别方法及解的求法。

　　一般线性方程组可解的判别定理，唯一解的条件，无穷多解的条件，一般线性方程组求解的方法及解的结构。

　　八、考核目标

　　1.理解矩阵的尼阶子式、矩阵的秩与矩阵初等变换的定义。熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的秩和解线性方程组。

　　2.准确判定所给的齐次线性方程组有无非零解。在有非零解时，能熟练地求出齐次线性方程组的基础解系。

　　3.牢固掌握一般线性方程组可解的判别定理和线性方程组有唯一解及无穷多解的条件，会用导出齐次线性方程组的基础解系表示一般线性方程组的全部解。

　　(五)矩阵

　　考试内容：

　　1.矩阵的运算及运算律。

　　矩阵可加的条件与加法法则，矩阵可乘的条件与乘法法则，数与矩阵的乘法法则，方阵的幂，矩阵运算的运算律。

　　2.初等矩阵。

　　初等矩阵的性质，初等矩阵与初等变换的联系。

　　3.矩阵的逆。

　　可逆矩阵与逆矩阵的定义，可逆矩阵的性质，可逆矩阵的判定，逆矩阵的求法。

　　4.矩阵乘积的行列式与矩阵乘积的秩。

　　考试要求：

　　1.熟练掌握矩阵各种运算的法则及运算规律

　　2.记住初等矩阵的定义、性质及其与初等变换的关系。

　　3.理解可逆矩阵的定义、性质，掌握矩阵可逆的判定法则，能熟练运用公式法：，及初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵。

　　(六)向量空间与欧式空间

　　考试内容：

　　1.向量空间及向量的线性相关性。

　　向量空间的定义，向量空间的性质，向量的线性组合，向量的线性表示，向量的线性相关与线性无关，向量组的等价，极大线性无关组，向量组的秩。

　　2.基、维数与坐标。

　　向量空间的基的定义，基的性质，基的求法，向量空间的维数，维数的求法，向量的坐标，坐标的求法，基的过渡矩阵，过渡矩阵的性质，过渡矩阵的求法，基变换公式，坐标变换公式。

　　3.子空间。

　　子空间的定义，子空间的判别定理，子空间的交与和，生成子空间，子空间的基与维数，维数公式。

　　4.欧氏空间。

　　内积与欧氏空间的定义内积的性质，向量的长度，向量的夹角，柯西不等式，向量的正交，正交向量组，标准正交基，标准正交化方法

　　考试要求：

　　1.熟记向量空间的定义、性质，深刻理解向量线性相关性的一系列概念，灵活运用上述概念、性质判断或证明有关的问题。

　　2.掌握常见的向量空间的基、维数、坐标及过渡矩阵的求法。

　　3.理解子空间、交子空间和子空间、生成子空间的概念，掌握子空间的判别方法及维数公式的应用。

　　4.熟记内积与欧氏空间的有关概念，会计算内积、向量的长度、夹角和标准正交基。

　　(七)线性变换

　　考试内容：

　　1.线性变换及其运算。

　　线性变换的定义，线性变换的性质，线性变换的和，数与线性变换的乘积，线性变换的合成(线性变换的乘积)，线性变换的方幂，线性变换运算的运算律。

　　2.线性变换的矩阵。

　　线性变换的矩阵的定义，线性变换下像向量的坐标，矩阵相似的定义，相似矩阵的性质，线性变换关于不同基的矩阵的相似关系，在一个确定基下线性变换与矩阵间的1—1对应关系，线性变换可逆的条件。

　　3.线性变换和矩阵的特征值、特征向量。

　　特征值，特征向量，特征多项式的定义及系数的特征，特征多项式的求法，特征值的求法，特征向量的求法。

　　4.矩阵的对角化。

　　矩阵对角化的定义，矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法。

　　考试要求：

　　1.掌握线性变换的定义、性质和基本运算，熟练判断所给

　　的变换是否为线性变换。

　　2.掌握线性变换矩阵的定义、矩阵相似的定义，会运用线

　　性变换的矩阵计算像的坐标。深刻理解线性变换关于不同基的矩

　　阵彼此相似。

　　3.掌握线性变换和矩阵的特征值、特征向量的概念，注意

　　线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量的联系和区别。熟练掌握特征值、特征向量的求法。

　　4.理解线性变换与矩阵可对角化的含义，熟练掌握可对角化的条件和对角化的方法。对实对称矩阵A会求正交矩阵U，使得为对角形。

　　(八)二次型

　　考试内容：

　　1.二次型及其矩阵表示。

　　二次型的矩阵，二次型的秩，变量的线性变换，变量的非退化线性变换，二次型的等价，矩阵合同的定义及性质，等价二次型的矩阵合同，任一对称矩阵必与对角矩阵合同。

　　2.二次型的标准形。

　　化二次型为平方和的方法，二次型的标准型(系数为±1的平方和形式)，化二次型为标准形的方法，实二次型的正惯性指标、负惯性指标、符号差，复二次型、实二次型标准形的唯一性。

　　3.正定二次型。

　　正定二次型的定义，正定矩阵的定义，正定二次型的判定，正定矩阵的判定。

　　考试要求：

　　1.理解二次型及矩阵合同的有关概念，明确施行非退化线性变换前后的两个二次型是等价的，它们的矩阵是合同的。会利用矩阵的初等变换把对称矩阵化为与之合同的对角矩阵。

　　2.理解二次型的平方和、标准形及实二次型的惯性指标、符号差的概念，掌握化二次型为平方和及标准形的方法。

　　3.熟记正定二次型、正定矩阵的定义及性质，掌握正定二次型与正定矩阵的判别方法。

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