2024年汉江师范学院专升本数学与应用数学专业《数学分析》考试大纲

　　数学与应用数学专业《数学分析》考试大纲

　　一、考试科目 数学分析

　　二、考试方式 闭卷、笔试

　　三、考试时间

　　120 分钟

　　四、试卷总分 150 分

　　五、参考教材

　　《数学分析》(上、下册)，华东师范大学数学科学学院编， 高等教育出版社，2019 年 5 月第 5 版。

　　六、考试基本要求

　　考生应按本大纲的要求，理解或掌握数学分析中的实数集与 函数、数列与函数极限、函数连续性、一元函数微分学、一元函 数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学及级数敛散性的基 本概念和基本理论;理解或掌握上述各部分的基本方法;理解各 部分知识结构及知识的内在联系。

　　考生应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力 和空间想象能力;能运用所学知识正确地推理和证明，准确地计 算;能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决简 单的实际问题。

　　七、考试内容

　　第一章 实数集与函数

　　考试内容：

　　1. 实数分类、实数的性质( 四则运算的封闭性、有序性、 阿基米德性、稠密性)、绝对值与不等式;

　　2. 区间、邻域、数集、确界原理;

　　3. 函数表示法、 函数四则运算、复合函数、反函数、初等 函数;

　　4.有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。 基本要求：

　　1. 熟练掌握实数域及性质;

　　2.掌握绝对值不等式;

　　3. 熟练掌握邻域、上确界、下确界的概念以及确界原理;

　　4.牢固掌握函数的复合法则、基本初等函数、初等函数及 某些特性(单调性、周期性、奇偶性、有界性等)。

　　第二章 数列极限

　　考试内容：

　　1.数列极限的定义及其几何意义、无穷小数列;

　　2. 收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛 性、 四则运算法则;

　　3.单调有界定理、柯西收敛准则。 基本要求：

　　1.理解数列极限的定义;

　　2.理解收敛数列的若干性质，会求数列极限;

　　3. 掌握数列收敛的条件(单调有界原理、迫敛法则、柯西 准则等)。

　　第三章 函数极限

　　考试内容：

　　1. 函数极限的概念，单侧极限及其与极限的关系;

　　2. 函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式 性、迫敛性、 四则运算法则;

　　3. 函数极限的单调有界定理、 归结原则、柯西准则;

　　4.两个重要的极限;

　　5.无穷小量和无穷大量的比较。 基本要求：

　　1. 熟练掌握函数极限的概念;

　　2.掌握函数极限的若干性质;

　　3. 掌握函数极限存在的条件( 归结原则，柯西准则，左、 右极限，单调有界等);

　　4. 熟练应用两个重要的极限;

　　5.掌握无穷小( 大)的定义、性质、阶的比较。

　　第四章 函数的连续性

　　考试内容：

　　1. 函数在一点连续( 左、右连续)及间断点的概念、 间断 点的分类;

　　2.连续函数的局部有界性、局部保号性，连续函数的四则 运算及复合函数的连续性;

　　3. 闭区间上连续函数的最值性、介值性、根的存在性定理， 反函数的连续性、初等函数的连续性、一致连续性。

　　基本要求：

　　1. 熟练掌握 f (x)在 x 点连续的定义和等价定义;

　　2. 熟练掌握间断点及其分类;

　　3. 熟练掌握 f (x)在一点连续性质及在区间上连续性质;

　　4. 熟练掌握初等函数的连续性。

　　第五章 导数和微分

　　考试内容：

　　1.平面曲线切线与瞬时速度问题、导数定义、单侧导数、 导数的几何意义、导函数;

　　2.导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数;

　　3.微分的概念、微分的四则运算、一阶微分形式不变性、 近似计算与误差估计;

　　4.高阶导数与高阶微分、参数方程和隐函数求导法。 基本要求：

　　1. 熟练掌握导数的定义，理解几何、物理意义;

　　2.掌握并熟练应用求导法则、求导公式;

　　3.会求各类函数( 复合函数、参变量函数、隐函数、幂指 函数)的导数和部分函数的高阶导数(莱布尼茨公式);

　　4.掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算;

　　5.掌握一元函数连续、可导、可微之间的关系。

　　第六章 微分中值定理及应用

　　考试内容：

　　1. 费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中 值定理;

　　2.各个类型不定式极限;

　　3. 函数的单调性与极值;

　　4. 函数的凸凹性与拐点;

　　5. 函数图象的讨论。 基本要求：

　　1. 熟练掌握微分中值定理;

　　2.会运用洛必达法则求极限;

　　3.会求函数的单调区间、极值等;

　　4. 掌握凸函数概念及性质，利用导数定义判定凹凸性及拐 点;

　　5. 能通过一定的计算进行函数图象的讨论。

　　第八章 不定积分

　　考试内容：

　　1.原函数、不定积分、基本积分表、不定积分的线性运算 法则;

　　2.第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法;

　　3.有理函数的积分、三角函数有理式的积分、某些简单无 理函数的积分。

　　基本要求：

　　1.理解原函数与不定积分的概念，熟练运用基本积分公式;

　　2. 熟练掌握换元积分法、分部积分法;

　　3.掌握有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。

　　第九章 定积分

　　考试内容：

　　1.定积分的定义、函数的可积条件(必要条件，可积准则， 可积函数类( 三个充分条件));

　　2.定积分的线性性质、 区间的可加性、单调性、绝对可积 性等性质，积分中值定理;

　　3. 变上限积分函数概念与性质，牛顿-莱布尼茨公式、换元 积分法、分部积分法。

　　基本要求：

　　1. 掌握定积分定义、性质、可积条件，会用定义进行一些 数列极限的计算;

　　2. 熟练掌握微积分基本定理、积分中值定量，并能够加以 应用;

　　3. 能够熟练计算定积分;

　　4.掌握定积分的变换及其一定的应用。

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