2022年吉首大学专升本《数学分析》课程考核大纲

　　《数学分析》课程考核大纲

　　一、课程编号

　　二、课程类别：数学与应用专业专升本课程

　　三、编写说明

　　1、本考核大纲参考华东师范大学数学系编的教材《数学分析》进行编写。

　　2、本大纲适用于数学与应用专业专升本考试。

　　四、课程考核的要求与知识点

　　第一章 实数集与函数

　　1、识记：(1)实数的基本性质;(2)区间与邻域;(3)函数的定义;(4)复合函数;(5)反函数;(6)初等函数。

　　2、理解：(1)上确界、下确界及确界原理;(2)有界函数;(3)单调函数;(4)奇函数和偶函数;(5)周期函数。

　　3、运用：(1)求函数值;(2)对函数进行四则运算;(3)用中学所学的基本不等式判断函数的有界性;(4)用定义判断函数的单调性;(5)用定义判断函数的奇偶性;(6)用定义判断函数的周期性。

　　第二章 数列极限

　　1、识记：(1)收敛数列和发散数列;(2)无穷小数列;(3)子列;(4)单调数列。

　　2、理解：(1)数列极限的定义;(2)收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性;(3)四则运算法则;(4)收敛数列的性质与其子列收敛的关系;(5)单调有界定理;(6)柯西收敛准则。

　　3、运用： (1)用数列极限定义来判断数列的极限存在或不存在;(2)用收敛数列性质、单调有界定理或柯西收敛准则来判断数列极限的存在性;(3)对收敛数列进行四则运算。

　　第三章 函数极限

　　1、识记：(1)函数极限类型;(2)两个重要极限;(3)无穷小量及阶;(4)无穷大量;(5)曲线的渐近线。

　　2、理解：(1)x→∞时函数的极限;(2)函数极限的ε--δ定义;(3)左右极限及单侧极限;(4)函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性;四则运算法则;(5)归结原则;(6)柯西准则。

　　3、运用：(1)用函数极限定义及归结原则来判断函数极限的存在或不存在; (2)用四则运算法则及两个重要极限来求函数极限;(3)求曲线的渐近线; (4)对无穷小量的阶进行比较。

　　第四章 函数的连续性

　　1、识记：(1)自变量和函数的增量;(2)间断点;(3)函数的最大值与最小值;(4)初等函数在定义域中连续;(5)初等函数。

　　2、理解：(1)函数的连续性(包括点的和区间上的);(2)左连续、右连续及与连续的关系;(3)间断点的分类;(4)连续函数的性质：局部有界性、局部保号性，四则运算法则，复合函数的连续性;(5)闭区间上连续函数的基本性质：最大、最小值定理，根的存在定理，反函数连续性定理，一致连续性定理。

　　3、运用：1)用定义来判断函数的连续性;(2)用连续函数性质来进行有关证明;(3)用闭区间上连续函数性质进行有关证明。

　　第五章 导数和微分

　　1、识记：(1)导数;(2)左导数、右导数及与导数的关系;(3)导函数;(4)导数的几何意义;(5)极值与极值点;(6)稳定点。

　　2、理解：(1)费马定理;(2)导数的四则运算法则;(3)反函数的导数;(4)复合函数的导数;(5)初等函数的导数公式;(6)参变量函数的导数公式;(7)高阶导数与莱布尼兹公式;(8)微分;(9)微分与导数的关系;(10)微分的运算法则;(11)高阶微分。

　　3、运用：(1)能用有关法则计算函数的导数与微分;(2)计算曲线的切线与法线方程;(3)用微分作近似计算。

　　第六章 微分中值定理及其应用

　　1、识记：(1)不定式极限的基本类型及变型;(2)(严格)凸函数，(严格)凹函数;(3)曲线的拐点。

　　2、理解：(1)罗尔中值定理;(2)拉格朗日中值定理;(3)拉格朗日中值定理的推论;(4)(严格)单调函数与导数的关系;(5)柯西中值定理;(6)洛必达法则;(7)带有佩亚诺型余项的泰勒公式;(8)带有拉格朗日型余项的泰勒公式;(9)极值的第一充分条件;(10)极值的第二充分条件;(11)凸函数与导数的关系;(12)曲线拐点的必要及充分条件。

　　3、运用：(1)能用导数来判断函数的单调性、凸性及拐点;(2)求某些理论及实际问题的最值。

　　第七章 实数的完备性

　　1、识记：(1)区间套;(2)集合的聚点;(3)开覆盖。

　　2、理解：(1)区间套定理;(2)聚点定理;(3)有限覆盖定理。

　　3、运用：用区间套定理、聚点定理及有限覆盖定理对一些简单问题进行计算和证明。

　　第八章 不定积分

　　1、识记：(1)原函数;(2)不定积分;(3)基本积分表;(4)有理函数。

　　2、理解：(1)原函数的性质;(2)不定积分的线性运算法则;(3)第一及第二换元积分法;(4)分部积分法;(5)有理函数积分法。

　　3、运用：应用基本积分表和各种积分方法求函数的不定积分。

　　第九章 定积分

　　1、识记：(1)定积分的概念;(2)可积的必要条件;(3)可积的函数类(三类);(4)变上限的定积分。

　　2、理解：(1)牛顿-莱布尼茨公式;(2)定积分的基本性质：线性性、关于区间的可加性，不等式性质;(3)积分第一中值定理;(4)微积分学基本定理;(5)换元积分法;(6)分部积分法。

　　3、运用：(1)用定积分定义求某些类型数列的极限;(2)用定积分性质来证明积分不等式;(3)用各种积分方法计算定积分。

　　第十章 定积分的应用

　　1、识记：(1)曲线的弧长;(2)光滑曲线。

　　2、理解：(1)求平面图形的面积;(2)求平面曲线的弧长;(3)求具有截面面积的立体体积。

　　3、运用：(1)求平面图形的面积;(2)求具有截面面积的立体体积;(3)求平面曲线的弧长。

　　第十一章 反常积分

　　1、识记：(1)无穷限反常积分的收敛与发散;(2)无界函数反常积分的收敛与发散;(3)无穷限反常积分的绝对收敛与条件收敛;(4)无界函数反常积分的绝对收敛与条件收敛。

　　2、理解：(1)无穷限积分的性质：柯西准则、线性性、区间可加性;(2)无穷限积分敛散性的判别：比较原则及其极限形式;(3)无穷限积分敛散性的判别：柯西判别法及其极限形式;(4)无穷限积分收敛性的判别：阿贝尔判别法与狄利克雷判别法;(5)瑕积分的性质：柯西准则、线性性、区间可加性;(6)瑕积分的敛散性判别：比较原则及其极限形式;(7)瑕积分的敛散性判别：柯西判别法及其极限形式。

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